Question

已知實數(shù)x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

考點：柯西不等式的幾何意義

專題：綜合題,不等式

分析：由柯西不等式：[（

2

x）²+（

3

y）²+（

6

z）²][（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

6

）²]≥（

1

2

×

2

x+

1

3

×

3

y+

1

6

×

6

z）²，可得出x+y+z的最大值，從而可根據(jù)最大值為1，建立關(guān)于a的方程解出a值即可．

解答： 解：由柯西不等式：[（

2

x）²+（

3

y）²+（

6

z）²][（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

6

）²]≥（

1

2

×

2

x+

1

3

×

3

y+

1

6

×

6

z）²…（5分）
因為2x²+3y²+6z²=a（a＞0），所以a≥（x+y+z）²，
因為x+y+z的最大值是1，所以a=1，
當(dāng)2x=3y=6z時，x+y+z取最大值，…（6分）
所以a=1．…（7分）

點評：本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，對于柯西不等式的構(gòu)造是題目的關(guān)鍵，需要同學(xué)們靈活應(yīng)用．