【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點處的切線與有且只有一個公共點，求的值；

（2）求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍.

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）注意到函數(shù)的定義域為，，.

所以，在切點處的切線的斜率為.

因此，切線方程為.

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以，方程有且只有一個實數(shù)解.

顯然，是方程的一個解.

令. 則.

當(dāng)時，（只有時等號成立），

于是，在上單調(diào)遞增，即是方程唯一的實數(shù)解.

當(dāng)時，由，得，.

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，.

所以，函數(shù)在處有極大值，且.

而當(dāng)時，，因此，在內(nèi)也有一個解，矛盾.

綜上，得.

（2）注意到.

故. ①

因為，且對稱軸為，

，

所以，方程在內(nèi)有兩個不同實根、，即式①的解集為.

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

則.

又因為，所以，.

從而，函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會，某大學(xué)在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學(xué)生中隨機抽取了120名學(xué)生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

收看

沒收看

男生

60

20

女生

20

20

(Ⅰ)根據(jù)上表說明，能否有的把握認(rèn)為，收看開幕式與性別有關(guān)？

(Ⅱ)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.

(ⅰ)問男、女學(xué)生各選取多少人？

(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率P.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式，對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效，由于停取方便、租用價格低廉，各色共享單車受到人們的熱捧．某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元．根據(jù)初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數(shù) 其中x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：輛)，利潤＝總收益－總成本．

(1)試將自行車廠的利潤y元表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時自行車廠的利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，函數(shù)在區(qū)間上有意義且不單調(diào)，求a的取值范圍；

（Ⅱ）若，且，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，記從“田字型”網(wǎng)格(由四個邊長為1的正方形構(gòu)成)的九個交點中任取三點構(gòu)成的三角形面積為ξ(當(dāng)所取的三點共線時，ξ=0)，則ξ的數(shù)學(xué)期望=_________。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查全市學(xué)生的數(shù)學(xué)高考成績，隨機地抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，獲得成績數(shù)據(jù)如下（單位：分）.

甲：132，108，112，121，113，121，118，128，118，129；

乙：133，107，120，113，122，114，128，118，129，127.

(1)畫出甲、乙兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均水平較高；

(2)若數(shù)學(xué)成績不低于120分，則稱為“優(yōu)秀”，求從這20名學(xué)生中隨機選取三人，至多有一人是優(yōu)秀的概率；

(3)以這20人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體成績，若從該校（人數(shù)很多）任選三人，記表示抽到優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元。

（1）分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，怎樣分配資金才能獲得最大收益？其最大收益為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為，.

（1）求直線與圓相切的概率；

（2）將，，5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.

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