Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

若有兩個相異零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】1；2見解析.

【解析】【試題分析】(1)求出函數(shù)的定義域后對函數(shù)求導(dǎo),對分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合函數(shù)沒有零點(diǎn),可求得的取值范圍.(2)設(shè)出兩個零點(diǎn),代入函數(shù)表達(dá)式,將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零,由此證得原不等式成立.

【試題解析】

解：函數(shù)的定義域為，

若時，則是區(qū)間上的增函數(shù)，

，

，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；

若有唯一零點(diǎn)；

若，令，得，

在區(qū)間上， ，函數(shù)是增函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；

故在區(qū)間上，的極大值為，

由于無零點(diǎn)，須使，解得，

故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是；

證明：設(shè)的兩個相異零點(diǎn)為，設(shè)，

，

，

故欲證，只需證，

即，即證，

設(shè)，上式轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，

，

在上單調(diào)遞增，

，

．