Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）設(shè)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)交點(diǎn)，且這兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)滿足題意，且.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析。;

【解析】【試題分析】（1）求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)大于或等于零，然后分離參數(shù)，利用恒成立可求得的取值范圍.（2）將兩條切線相互垂直轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)乘積為，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)可求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)所滿足的一個(gè)等式，通過(guò)分類討論可得存在唯一實(shí)數(shù)滿足題意.

【試題解析】

（1）解：由題意知，所以，

由題意， ，即對(duì)恒成立，

又當(dāng)時(shí)， ，所以.

（2）證明：因?yàn)?/span>， ,

所以，即.①

又點(diǎn)是曲線與的一個(gè)交點(diǎn)，所以.②

由①②消去，得.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>.所以，且，此與②式矛盾.

所以在上沒(méi)有適合題意.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)， .

則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>， ，

且的圖象在上不間斷，所以函數(shù)在有唯一零點(diǎn).

即只有唯一的，使得成立，且.

綜上所述，存在唯一的,且.