Question

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin（A-B）=cosC．
（Ⅰ）若a=3

2

，b=

10

，求c；
（Ⅱ）求

acosC-ccosA

b

的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右邊利用誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)三角形ABC為銳角三角形確定出B的度數(shù)，再由a與b的值，利用余弦定理即可求出c；
（Ⅱ）由B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入所求式子，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及正弦定理化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由sin（A-B）=cosC，得sin（A-B）=sin（

π

2

-C），
∵△ABC是銳角三角形，
∴A-B=

π

2

-C，即A-B+C=

π

2

，①
又A+B+C=π，②
由②-①，得B=

π

4

，
由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，得（

10

）²=c²+（3

2

）²-2c×3

2

cos

π

4

，
整理得：c²-6c+8=0，
解得：c=2，或c=4，
當c=2時，b²+c²-a²=（

10

）²+2²-（3

2

）²=-4＜0，
∴b²+c²＜a²，此時A為鈍角，與已知矛盾，故c≠2，
則c=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ），知B=

π

4

，
∴A+C=

3π

4

，即C=

3π

4

-A，
∴利用正弦定理化簡得：

acosC-ccosA

b

=

sinAcosC-cosAsinC

sinB

=

sin(A-C)

2 2

=

2

sin（2A-

3π

4

），
∵△ABC是銳角三角形，
∴

π

4

＜A＜

π

2

，
∴-

π

4

＜2A-

3π

4

＜

π

4

，
∴-

2

2

＜sin（2A-

3π

4

）＜

2

2

，
∴-1＜

acosC-ccosA

b

＜1．
則

acosC-ccosA

b

的取值范圍為（-1，1）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．