Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用利用同角三角函數(shù)關(guān)系和倍角公式對(duì)函數(shù)解析是化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值和最小值，以及取得最大值時(shí)x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=1+1+cos2x-sin2x
=2+

2

(

2

2

cos2x-

2

2

sin2x)=2+

2

(cos

π

4

cos2x-sin

π

4

sin2x)=2+

2

cos(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期為T(mén)=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

）
∴f(x)max=2+

2

，此時(shí)cos(2x+

π

4

)=1，2x+

π

4

=2kπ，
即x=-

π

8

+2kπ(k∈z).f(x)min=2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的運(yùn)用．必須對(duì)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切余切函數(shù)的圖象熟記于心，在求周期性及最值，單調(diào)性等問(wèn)題都非常有用．