Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-x²+ax，g（x）=2x+b，當(dāng)x=1+時，f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意f'（x）=x²-2x+a，
∵當(dāng)x=1+時，f（x）取得極值，
∴所以 ，
∴，
∴即a=-1
（2）設(shè)f（x）=g（x），則 -3x-b=0，b=-3x，
設(shè)F（x）=-3x，G（x）=b，F(xiàn)'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0解得x=-1或x=3，
∴函數(shù)F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
當(dāng)x=-1時，F(xiàn)（x）有極大值F（-1）=；當(dāng)x=3時，F(xiàn)（x）有極小值F（3）=-9，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，F(xiàn)（-3）=-9，F(xiàn)（4）=-，
∴函數(shù)F（x）與G（x）的圖象有兩個公共點，結(jié)合圖象可得
∴-或b=-9，
∴．
分析：（I）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)等于0，可求出a的值．（II）設(shè)f（x）=g（x），則得 ．設(shè) ，G（x）=b，由F'（x）的符號判斷
函數(shù)F（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，從而求出F（x）的值域，由題意得，函數(shù)F（x）與G（x）的圖象有兩個公共點，
從而得到b的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)等于0，利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間、極值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．