Question

如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P，如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P（如圖2），有下列三個(gè)命題：
（1）正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；
（2）將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P；
（3）若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿(mǎn)．
請(qǐng)判斷上面命題是否正確，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁，圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），從而得到h₁=

5

3

h₂，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)．

解答： 解：設(shè)圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故（1）錯(cuò)誤，（3）正確．
對(duì)于（2），當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，
又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，故（2）正確．
故答案為：（2），（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．