Question

19．（1）在極坐標(biāo)系Ox中，設(shè)集合A={（ρ，θ）|0≤θ≤$\frac{π}{4}$，0≤ρ≤cosθ}，求集合A所表示的區(qū)域的面積；
（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ表示參數(shù)），其中a＞0，若曲線C上所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先，化為直角坐標(biāo)系，得到所以集合A所表示的區(qū)域?yàn)椋河缮渚�y=x（x≥0），y=0（x≥0），圓（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$所圍成的區(qū)域，解得即可．
（2）首先，將直線和橢圓化為普通方程，然后，結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系求解．

解答 解：（1）在ρ=cosθ兩邊同乘ρ，得ρ²=ρcos θ，化成直角坐標(biāo)方程，得x²+y²=x，即（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
所以集合A所表示的區(qū)域?yàn)椋河缮渚�y=x（x≥0），y=0（x≥0），圓（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$所圍成的區(qū)域，如圖所示的陰影部分，所求面積為$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{π}{16}$．
（2）根據(jù)直線l：直線l₁$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得x-y+4=0，
∵曲線C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ表示參數(shù)），曲線C：（θ為參數(shù)），
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
聯(lián)立方程組，得
（4+a²）x²+8a²x+12a²=0，
∴△=64a⁴-4×12a²×（4+a²）＜0，
∴-2$\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$，
∵a＞0，
∴0＜a＜2，
∴a的取值范圍（0，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等知識，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．