Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x．則f（x）+f[f（x）]+f{f[f（x）]}+…+f{f[…f（x）]}︸n個f=（2ⁿ-1）2x．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的解析式可以得到：1個f時，f（x）=2¹x；2個f時，f[f（x）]=2²x；3個f時，f{f[f（x）]}=2³x，從而可以歸納出n個f時的函數(shù)值，可以看出：x=0時，所求和為0，而x≠0時，便是等比數(shù)列求和問題，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出該和為（2ⁿ-1）2x，綜合這兩種情況即可得出要求的和．

解答 解：f（x）=2x，f[f（x）]=f（2x）=2•2x=2²x，f{f[f（x）]}=f（2²x）=2•2²x=2³x；…
∴$\underset{\underbrace{f\{f[…f（x）]\}}}{n個f}={2}^{n}x$．
∴①x=0時，$f（x）+f[f（x）]+f\{f[f（x）]\}+…+\underset{\underbrace{f\{f[…f（x）]\}}}{n個f}=0$；
②x≠0時，2x，2²x，…，2ⁿx是以2x為首項，2為公比的等比數(shù)列；
∴2x+2²x+2³x+…+2ⁿx=$\frac{2x（1-{2}^{n}）}{1-2}=（{2}^{n}-1）2x$；
綜上得，f（x）+f[f（x）]+f{f[f（x）]}$+…+\underset{\underbrace{f\{f[…f（x）]\}}}{n個f}=（{2}^{n}-1）2x$．
故答案為：（2ⁿ-1）2x．

點評 考查已知函數(shù)求值，數(shù)學(xué)歸納的思想方法，以及等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的求和公式．