Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}x^{2}+1}{bx}$（b＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）如果對任意的x＞0．都有f（x）≥f（1）=2成立．求|[f（x）]³|-|f（x³）|，（x≠0）的最小值；
（3）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$（i=1，2，3），證明f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，由導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得b=$\frac{a+1}{2}$，運(yùn)用解不等式可得f（x）的最小值，即有a+1$≤2\sqrt{a}$，解得a=b=1，化簡所求函數(shù)式，再由基本不等式可得最小值；
（3）若x₁，x₂，x₃中有一負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x₃＜0．運(yùn)用f（x）為奇函數(shù)和增函數(shù)，可得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞f（x₁），即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（b＞0）=$\frac{1}$（ax+$\frac{1}{x}$），
f′（x）=$\frac{1}$（a-$\frac{1}{{x}^{2}}$），當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)a＞0時，x＜-$\frac{1}{\sqrt{a}}$或0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當(dāng)a≤0時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{\sqrt{a}}$），（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$）；
（2）對任意的x＞0．都有f（x）≥f（1）=2成立，
即有b=$\frac{a+1}{2}$，由f（x）=$\frac{1}$（ax+$\frac{1}{x}$）≥$\frac{2\sqrt{a}}$，
即為2≤$\frac{2\sqrt{a}}$，即有a+1$≤2\sqrt{a}$，解得a=1，b=1，
則f（x）=x+$\frac{1}{x}$，|[f（x）]³|-|f（x³）|=|（x+$\frac{1}{x}$）³|-|x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$|
=|x³|+|$\frac{1}{{x}^{3}}$|+3|x|+3|$\frac{1}{x}$|-|x³|+|$\frac{1}{{x}^{3}}$|=3（|x|+|$\frac{1}{x}$|）≥6$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時，取得最小值6；
（3）證明：若x₁，x₂，x₃中有一負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x₃＜0．
∵x₂+x₃＞0且|x₃|＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$，a＞0，f（x）在（$\frac{1}{\sqrt{a}}$，+∞）遞增，
∴x₂＞-x₃＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃）（∵f（x）為奇函數(shù)）
∴f（x₂）+f（x₃）＞0，
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞f（x₁）＞f$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=$\frac{2\sqrt{a}}$，
綜上，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查基本不等式的運(yùn)用和函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．