Question

【題目】如圖，一條東西流向的筆直河流，現(xiàn)利用航拍無人機(jī)監(jiān)控河流南岸相距150米的兩點(diǎn)處（在的正西方向），河流北岸的監(jiān)控中心在的正北方100米處，監(jiān)控控制車在的正西方向，且在通向的沿河路上運(yùn)動(dòng)，監(jiān)控過程中，保證監(jiān)控控制車到無人機(jī)和到監(jiān)控中心的距離之和150米，平面始終垂直于水平面，且，兩點(diǎn)間距離維持在100米.

（1）當(dāng)監(jiān)控控制車到監(jiān)控中心的距離為100米時(shí)，求無人機(jī)距離水平面的距離；

（2）若記無人機(jī)看處的俯角（），監(jiān)控過程中，四棱錐內(nèi)部區(qū)域的體積為監(jiān)控影響區(qū)域，請(qǐng)將表示為關(guān)于的函數(shù)，并求出監(jiān)控影響區(qū)域的最大值.

Answer 1

【答案】（1）米；（2），立方米

【解析】

（1）過D作，垂足為F，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面ABCE，即線段DF長為點(diǎn)D到平面ABCE的距離，在中利用面積相等求出DF即可；

（2）由（1）知，DF是四棱錐D-ABCE的高，在中，把DF表示成關(guān)于的表達(dá)式，再利用四棱錐的體積公式把四棱錐內(nèi)部區(qū)域的體積為監(jiān)控影響區(qū)域表示成關(guān)于的函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求其最大值.

（1）過D作，垂足為F，

又因?yàn)槠矫?/span>平面ABCE，平面平面，

所以平面ABCE，

所以線段DF長為點(diǎn)D到平面ABCE的距離，

在中，，（米），（米），

所以（米）.

即點(diǎn)D到水平面ABCE的距離為米.

（2）由（1）知，DF是四棱錐D-ABCE的高，

在中，因?yàn)?/span>（米），，

所以（米），（米），

所以（米），

所以梯形ABCE的面積（米），

所以四棱錐的體積

，

分析知，，且，

所以V關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為

，

.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)，即時(shí)，

（立方米）.

即監(jiān)控影響區(qū)域的最大值為立方米.