Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

3

4

．
（1）求拋物線C的方程．
（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意知F（0，

p

2

），由題意知

3p

4

=

3

4

，由此能求出拋物線C的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線MQ的方程為y-

x02

2

=x₀（x-x₀）．令y=

1

4

得Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

），由|QM|=|OQ|，推導(dǎo)出存在點(diǎn)M（

2

，1），使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M．

解答： 解：（1）依題意知F（0，

p

2

），
圓心Q在線段OF的垂直平分線y=

p

4

上．
因?yàn)閽佄锞�C的準(zhǔn)線方程為y=-

p

2

，
所以

3p

4

=

3

4

，即p=1．
因此拋物線C的方程為x²=2y．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，
拋物線C在點(diǎn)M處的切線斜率為y′|x=x₀=（

x2

2

）′| x=x0=x| x=x0=x₀，
所以直線MQ的方程為y-

x02

2

=x₀（x-x₀）．
令y=

1

4

得x_Q=

x0

2

+

1

4x0

．
∴Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

）
又|QM|=|OQ|，
∴(

1

4x0

-

x0

2

)2+（

1

4

-

x02

2

）²=（

1

4x0

+

x0

2

）²+

1

16

，
∴（

1

4

-

x02

2

）²=

9

16

，
又x₀＞0，所以x₀=

2

，此時(shí)M（

2

，1）．
故存在點(diǎn)M（

2

，1），使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．