Question

如圖，直三棱柱AC₁中，CC₁⊥平面ABC，AB=BC=2，AC=2

2

，BB₁=

3

，E、F分別為A₁C₁、AB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C平面角的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理即可證明：EF∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關系即可求二面角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點M，連接FM、C₁M 
∵在三棱柱中，E、F分別為B₁C₁、AB中點
∴EC₁∥

1

2

AC，F(xiàn)M∥

1

2

AC∴EC₁∥FM
∴四邊形EFMC₁為平行四邊形，則EF∥MC₁    
又∵EF?平面BCC₁B₁，MC₁?平面BCC₁B
∴EF∥平面BCC₁B₁…（5分）
（Ⅱ）解：取AC中點N，連接EN、FN
∴EN∥CC₁，F(xiàn)N∥AC                          
∵AB=BC=2，AC=2

2

，則AB²+BC²=AC²，即AB⊥BC
∴AB⊥FN                                   
又在直三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，則EN⊥平面ABC
∴AB⊥EN又FN∩EN=N，
∴AB⊥平面EFN，則AB⊥EF，
∴∠EFN為二面角E-AB-C的平面角，
在Rt△EFN中，tan∠EFN=

EN

FN

=

BB1

1 2 BC

=

3

，
∴∠EFN=60°，即二面角E-AB-C的平面角為60°．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定，以及空間二面角的求解，考查學生的推理能力．