Question

已知a為不等于0的實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且僅有一個極值點x₀．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）（�。┣笞C：-2＜x₀＜-1；
（ⅱ）設(shè)g（x）=

a

x+1

，若x₁∈（-∞，0），x₂∈[0，+∞），記|f（x₁）-g（x₂）|的最大值為M，求M的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且僅有一個極值點x₀，可得f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（�。┝頵'（x）=0，求出x₀，即可證明；
（ⅱ）M=f（x₀）-g（0）=f（x₀）-a，進而可得M=f（x₀）-a=-

x02

x0+1

•ex0+

x02+2x0

x0+1

，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=（x²+ax）e^x
∴f'（x）=[x²+（a+2）x-2a]e^x，
∵函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且僅有一個極值點x₀．
∴f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（ⅰ）證明：令f'（x）=0，則
a＜0時，x₀=

-(a+2)- a2+4

2

=-1-

2

a2+4 -a

，
∵a＜0，∴0＜

2

a2+4 -a

＜1
∴-2＜-1-

2

a2+4 -a

＜-1
∴-2＜x₀＜-1；
（ⅱ）解：a＜0時，函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且僅有一個極值點x₀．
f（x）=（x²+ax）e^x＞0在（-∞，0）上恒成立，故f（x₁）∈（0，f（x₀）]，
且g（x）=

a

x+1

在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故g（x₂）∈[g（0），0），
∴M=f（x₀）-g（0）=f（x₀）-a．
由f'（x₀）=0，可得a=-

x02+2x0

x0+1

，
∴f（x₀）=-

x02

x0+1

•ex0，
∴M=f（x₀）-a=-

x02

x0+1

•ex0+

x02+2x0

x0+1

，
令h（x₀）=-

x02

x0+1

•ex0+

x02+2x0

x0+1

（-2＜x₀＜-1）
則h′（x₀）=

-x0(x02+2x0+2)

(x0+1)2

•ex0+

x02+2x0+2

(x0+1)2

＞0
∴h（x₀）＞h（-2）=

4

e2

，
∴M＞

4

e2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．