Question

對于函數(shù)f（x），g（x）和區(qū)間D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱x₀是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“親密點”．現(xiàn)給出四對函數(shù)：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2； ②f（x）=

x

，g（x）=x+2；
③f（x）=e^x，g（x）=x+1；  ④f（x）=lnx，g（x）=x
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“親密點”的是（　�。�

• A、①③
• B、③④
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：①由f（x）-g（x）≥1，判斷兩函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的存在唯一“親密點”；
②由g（x）-f（x）＞1，判斷兩函數(shù)不存在“親密點”；
③設h（x）=f（x）-g（x），x→0時，h（x）→0，判斷兩函數(shù)的“親密點”不唯一；
④設h（x）=g（x）-f（x），得h（x）的最小值為h（1）=1，判斷兩函數(shù)的“親密點”唯一．

解答： 解：對于①，f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則只有當x₀=1時，滿足條件，
∴在區(qū)間（0，+∞）上的存在唯一“親密點”，∴①滿足題意；
對于②，g（x）-f（x）=x-

x

+2=(

x

-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

＞1，
∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，
∴函數(shù)不存在“親密點”，∴②不滿足題意；
對于③，設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-1，
∴h′（x）=e^x-1，且x＞0時，h′（x）＞0；
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x→0時，h（x）→0，
∴使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，∴③不滿足題意；
對于④，設h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx，（x＞0），
則h′（x）=1-

1

x

，令h′（x）＞0，得x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴x=1時，函數(shù)取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
即x₀=1時，|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④滿足題意．
綜上，命題題意的函數(shù)序號為①④．
故選：C．

點評：本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應用問題，也考查了導數(shù)的概念與應用問題，是綜合性題目．