Question

襄荊高速公路起自襄陽市賈家洲，止于荊州市龍會橋，全長約188公里．該高速公路連接湖北省中部的襄陽、荊門、荊州三市，是湖北省大三角經(jīng)濟主骨架中的干線公路之一．假設(shè)某汽車從賈家洲進入該高速公路后以不低于60千米/時且不高于120千米/時的速度勻速行駛到龍會橋，已知該汽車每小時的運輸成本由固定部分和可變部分組成，固定部分為200元，可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比（比例系數(shù)記為k）．當汽車以最快速度行駛時，每小時的運輸成本為488元．
（1）試求出k的值并把全程運輸成本f（v）（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)；
（2）汽車應(yīng)以多大速度行駛才能使全程運輸成本最��？最小運輸成本為多少元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法法求出運輸成本，
（2）利用基本不等式可求出所求．

解答： 解：（1）每小時的可變成本為：kv²（60≤v≤120），每小時固定成本為200．每小時的運輸成本為：kv²+200．
因為速度最大時每小時的運輸成本為488，所以k120²+200=488，所以k=0.02，
運輸時間為：t=

s

v

=

188

v

，
所以全程的運輸成本為：f(v)=(0.02v2+200)•

188

v

．
（2）∵f(v)=(0.02v2+200)•

188

v

=188（

200

v

+0.02v）≥188×2

200 v ×0.02v

=752，
當且僅當

200

v

=0.02v，即v=100時，“=”成立，
即汽車以100 km/h的速度行駛，全程運輸成本最小為752元．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系，掌握基本不等式在最值問題中的應(yīng)用注意等號成立的條件是解決本題的關(guān)鍵．