Question

已知函數(shù)f（x）=

a(x2-x-1)

ex

（x∈R），a為正數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=

-ax(x-3)

ex

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[0，4]上有極大值f（3）=

5a

3

也是最大值，要使得函數(shù)f（x）對任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，只需|f（3）-f（0）|＜1即可，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a(x2-x-1)

ex

∴f′（x）=

-ax(x-3)

ex

，
令f′（x）=0，
∵a＞0，∴x₁=0，x₂=3，
f′（x）＞0，得0＜x＜3；
f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，
f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，+∞）上為減函數(shù)；
（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，4]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[0，4]上有極大值f（3）=

5a

3

也是最大值，
又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae^-4＞0，
∴f（0）＜f（4），
∴f（x）在[0，4]上的最小值為-a，
∴要使得函數(shù)f（x）對任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，
只需|f（3）-f（0）|＜1即可，∴

5a

e3

+a＜1，
∵a＞0，∴0＜a＜

e3

5+e3

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．