Question

如圖所示，△ABC中，已知頂點(diǎn)A（3，-1），∠B的內(nèi)角平分線方程是x-4y+10=0過點(diǎn)C的中線方程為6x+10y-59=0．求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線BC的方程．

Answer 1

分析：先設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)（a，b），根據(jù)∠B的內(nèi)角平分線方程是x-4y+10=0得到關(guān)于a，b的一個(gè)方程，再結(jié)合AB中點(diǎn)（

a+3

2

，

b-1

2

）在過點(diǎn)C的中線上，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后結(jié)合夾角公式求出直線BC的斜率即可求直線BC的方程．

解答：解：設(shè)B（a，b），由過點(diǎn)B的角平分線方程x-4y+10=0得
a-4b+10=0，①…（2分）
又AB中點(diǎn)（

a+3

2

，

b-1

2

）在過點(diǎn)C的中線上，
6×（

a+3

2

）+10×

b-1

2

=59，②
由①②可得a=10，b=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（10，5）…（5分）
則直線AB的斜率K_AB=

5-(-1)

10-3

=

6

7

又∠B的內(nèi)角平分線的斜率k=

1

4

…（6分）
所以得

k- kAB

1+k•KAB

=

KBC-K

1+k BC•k

⇒

1 4 - 6 7

1+ 1 4 × 6 7

=

KBC- 1 4

1+ 1 4 •KBC

解得K_BC=-

2

9

…（10分）
∴直線BC的方程為y-5=-

2

9

（x-10）⇒2x+9y-65=0
綜上，所求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，5），
直線BC的方程為    2x+9y-65=0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩直線的夾角與到角問題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)夾角與到角公式求出直線BC的斜率．