Question

【題目】某市每年春節(jié)前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴(yán)重．該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn),每天空氣污染的指數(shù)．f（t），隨時刻t（時）變化的規(guī)律滿足表達式，其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù),且a∈（0，1）．

(1)令,求x的取值范圍；

(2)若規(guī)定每天中f（t）的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù),要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5,試求調(diào)節(jié)參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)[0，1]；(2).

【解析】

(1)題根據(jù)t的取值范圍，及復(fù)合函數(shù)同增的單調(diào)性可得x的取值范圍；

(2)題根據(jù)第(1)題的提示構(gòu)造一個函數(shù)h（x）=|x-a|+3a+2，然后將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，考慮單調(diào)性及最大值的取值，再與5比較，即可得到調(diào)節(jié)參數(shù)a的取值范圍．

(1)由題意,0≤t≤24，則1≤t+1≤10,

∴0=lg1≤lg（t+1）≤lg10=1．

故x的取值范圍為：[0，1]．

(2)由(1),知：

可設(shè)

則．

根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性,很明顯h（x）在[0，a）上單調(diào)遞減,在[a，1]上單調(diào)遞增．

∴用表示函數(shù)的最大值是中最大的值.

∵，

∴,即,

解得0＜a≤．

∴a的取值范圍為：（0，]．