Question

已知F₁(-2,0),F₂(2,0),點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2,記點P的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程;

(2)若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點.①無論直線l繞F₂怎樣轉(zhuǎn)動,在x軸上總存在定點M(m,0),使MP⊥MQ恒成立.求實數(shù)m的值.②過P、Q作直線x=的垂線PA、QB,垂足分別為A、B,是否存在直線l,滿足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知,點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支,由c=2,2a=2,得b²=3.

軌跡E的方程為x²=1(x≥1).

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

將l的方程與雙曲線方程聯(lián)立,消y得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0,

解得k²＞3.①∵·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=(k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²

=+m²,又MP⊥MQ,∴·=0,即3(1-m²)+k²(m²-4m-5)=0對任意的k²＞3恒成立.∴解得m=-1.當(dāng)m=-1時,MP⊥MQ.

當(dāng)直線l的斜率不存在時,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知結(jié)論也成立.綜上,當(dāng)m=-1時,MP⊥MQ.

②∵∴x=是雙曲線的右準(zhǔn)線,假設(shè)存在直線l滿足條件,且斜率為k.

由雙曲線定義得|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|,

∴|PQ|=|AB||x₂-x₁|=|y₂-y₁|=|k(x₂-x₁)|.∴=|k|.

∴k=±1.又k²＞3,∴此時k不存在.當(dāng)直線的斜率不存在時,|PQ|=|AB|,此時不滿足題設(shè).

故不存在滿足題設(shè)條件的直線l.