【題目】如圖,在直三棱柱ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,A=4.

(1)證明:

(2)求二面角的余弦值大。

【答案】⑴見證明;⑵

【解析】

(1)根據(jù)AC,BC,CC1兩兩垂直,建立如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz,寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量級(jí)等于0,證出兩條線段垂直.

(2)根據(jù)所給的兩個(gè)平面的法向量一個(gè)可以直接看出另一個(gè)設(shè)出根據(jù)數(shù)量級(jí)等于0,求出結(jié)果,根據(jù)兩個(gè)平面的法向量所成的角求出兩個(gè)平面所成的角.

直三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB=5,

∴AC,BC,CC1兩兩垂直.

如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4). …(2分)

證明:(1)=(﹣3,0,0),=(0,﹣4,4),

=0,

故AC⊥BC1…(4分)

解:(2)平面ABC的一個(gè)法向量為=(0,0,1),

設(shè)平面C1AB的一個(gè)法向量為=(x,y,z),

=(﹣3,0,4),=(﹣3,4,0),

得:…(6分)

令x=4,則z=3,y=3則=(4,3,3).…(7分)

故cos,>==

即二面角ABC的余弦值為.

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