Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx+mx²（m∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若m=0，A（a，f（a））、B（b，f（b））是函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點，且a＞b＞0，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，求證：f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
（Ⅲ）求證：$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7}+…+\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過函數(shù)f（x）的解析式可知其定義域為（0，+∞）、f′（x）=$\frac{1+2m{x}^{2}}{x}$，結(jié)合導數(shù)知識分m≥0、m＜0兩種情況討論即可；
（Ⅱ）通過（I）及m=0可知問題轉(zhuǎn)化為證明$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}$．對于要證$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}$，通過換元法即證函數(shù)g（t）=lnt-t+1滿足g（t）＜g（1）=0即可；對于要證$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$，通過換元法令t=$\frac{a}$，即證（t+1）lnt-2（t-1）＞0，通過令h（t）=（t+1）lnt-2t+2，利用h″（t）＞0可知h′（t）＞h′（1）=0，從而可得結(jié)論；
（Ⅲ）通過（II）可知$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}$（a＞b＞0），通過令a=n+1、b=n可知$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，利用ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+…+（ln3-ln2）+（ln2-ln1）累加計算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：依題意，f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2mx=$\frac{1+2m{x}^{2}}{x}$，
當m≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當m＜0時，令f′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，
當x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）時f′（x）＞0，此時f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）上單調(diào)遞增；
當x∈（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）時f′（x）＜0，此時f（x）在區(qū)間（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上所述，當m≥0時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當m＜0時f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$）上單調(diào)遞增、在（$\sqrt{-\frac{1}{2m}}$，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）證明：由（I）及m=0可知f（x）=lnx、f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴要證f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b），即證$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}$．
要證$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}$，只需證ln$\frac{a}$＜$\frac{a}$-1，
令t=$\frac{a}$，則t＞1，即證lnt-t+1＜0，
令g（t）=lnt-t+1，則g′（t）=$\frac{1}{t}$-1＜0，
∴g（t）＜g（1）=0，得證；
要證$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$，只需證ln$\frac{a}$＞$\frac{2（\frac{a}-1）}{\frac{a}+1}$，
令t=$\frac{a}$，則t＞1，即證（t+1）lnt-2（t-1）＞0，
令h（t）=（t+1）lnt-2t+2，則h′（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，
∵h″（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{1}{t}$（1-$\frac{1}{t}$）＞0，
∴h′（t）＞h′（1）=0，
∴h（t）＞h（1）=0，得證；
綜上所述，f′（$\frac{a+b}{2}$）＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜f′（b）；
（Ⅲ）證明：由（II）可知$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{lna-lnb}{a-b}$＜$\frac{1}$（a＞b＞0），
令a=n+1、b=n，則有$\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，
∵ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+…+（ln3-ln2）+（ln2-ln1），
∴$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7}+…+\frac{2}{2n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

點評 本題是一道關于函數(shù)與不等式的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．