Question

設(shè)a∈R，（ax-1）⁸的二項(xiàng)展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為7，則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),極限及其運(yùn)算

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得x³的系數(shù)，再根據(jù)x³項(xiàng)的系數(shù)為7，求得實(shí)數(shù)a的值，進(jìn)而可求極限．

解答： 解：由于（ax-1）⁸展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 8

•a^8-r•x^8-r•（-1）^r，
令8-r=3，解得r=5，故（ax-1）⁸展開式中x³的系數(shù)為-

C

5 8

•a³=7，
解得a=-

1

2

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

- 1 2

1+ 1 2

=-

1

3

．
故答案為：-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．