Question

14．已知a＞b＞0，橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，C₁與C₂的離心率之積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則雙曲線C₂的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 求出橢圓與雙曲線的離心率，然后推出ab關(guān)系，即可求出雙曲線C₂的離心率．

解答 解：a＞b＞0，橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
∴C₁的離心率為：$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$，
雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
∴C₂的離心率為：$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}{a}$，
∵C₁與C₂的離心率之積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴（$\frac{a}$）²=$\frac{1}{2}$，即$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則C₂的離心率：$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)，離心率的求法，基本知識(shí)的考查，難度中檔．