Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，|an+1﹣an|=pn ， n∈N* ．
（1）若{an}是遞增數(shù)列，且a1 ， 2a2 ， 3a3成等差數(shù)列，求p的值；
（2）若p= ，且{a2n﹣1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴an+1﹣an＞0，

則|an+1﹣an|=pn化為：an+1﹣an=pn，

分別令n=1，2可得，a2﹣a1=p， ，

即a2=1+p， ，

∵a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，∴4a2=a1+3a3，

即4（1+p）=1+3（p2+p+1），

化簡(jiǎn)得3p2﹣p=0，解得 或0，

當(dāng)p=0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列，不符合數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，

∴ ；

（2）解：由題意可得，|an+1﹣an|= ，

則|a2n﹣a2n﹣1|= ，|a2n+2﹣a2n+1|= ，

∵數(shù)列{a2n﹣1}是遞增數(shù)列，且{a2n}是遞減數(shù)列，

∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，

則﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，兩不等式相加得

a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，

又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ＞|a2n+2﹣a2n+1|= ，

∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即 ，

同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，

則a2n+1﹣a2n=

當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，令n=2m（m∈N*），

， ， ，…， ，

這2m﹣1個(gè)等式相加可得，

= = ，

則 ；

當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，令n=2m+1（m∈N*）

， ， ，…， ，

這2m個(gè)等式相加可得，

= ﹣ = ，

則 ，且當(dāng)m=0時(shí)a1=1符合，

故 ，

綜上得，

【解析】（1）根據(jù)條件去掉式子的絕對(duì)值，分別令n=1，2代入求出a2和a3 ， 再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于p的方程求解，利用“{an}是遞增數(shù)列”對(duì)求出的p的值取舍；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出 和a2n+1﹣a2n= ，再對(duì)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)分類(lèi)討論，利用累加法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，再用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．