Question

數(shù)列{a_n}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0且t≠1，x=

t

是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_nlog_ta_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)已知f′(

t

)=0，可得a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），從而可以證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）利用疊加法，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由b_n=a_nlog_ta_n，求出數(shù)列{b_n}的通項，利用錯位相減法，可求前n項和為S_n．

解答： （Ⅰ）證明：f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1]，
根據(jù)已知f′(

t

)=0，即ta_n-1-（t+1）a_n+a_n+1=0，
即a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），…（2分）
∵t＞0，t≠1，
∴a2-a1=t2-t=t(t-1)≠0，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t（t-1）為首項，t為公比的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：由于（Ⅰ）可知an+1-an=(t-1)tn．
所以a_n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(t-1)tn-1+(t-1)tn-1+…+(t-1)t+t
=(t-1)×

t(1-tn-1)

1-t

+t=tn．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式an=tn．                …（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知an=tn，
∴bn=anlogtan=ntn．…（9分）
∴Sn=1×t+2×t2+3×t3+…+ntn，
則tSn=1×t2+2×t3+…+(n-1)tn+ntn+1，…（10分）
∴(1-t)Sn=t+t2+t3+…+tn-ntn+1=

t(1-tn)

1-t

-ntn+1，…（13分）
∴Sn=

t-tn+1

(1-t)2

-

ntn+1

1-t

．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．