如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．
（1）若
CE
EP
=
3
2
，求證：EF∥平面PAB；
（2）若FE⊥PC，求二面角E-DB-C的平面角的余弦值．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出，在△PAC中，
CE
EP
=
CF
FA
=
3
2
，從而得到EF∥PA，由此能夠證明EF∥平面PAB．
（2）法一：取FC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，過(guò)G作GO⊥BD于O，連結(jié)EO，由已知條件推導(dǎo)出∠EOG為二面角E-DB-C的平面角，由此能求出二面角E-DB-C的平面角的余弦值．
法二：以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-DB-C的平面角的余弦值．
解答： （1）證明：∵AB∥DC，且
DC
AB
=
3
2
，
∴
CF
FA
=
3
2
，（1分）
在△PAC中，∵
CE
EP
=
CF
FA
=
3
2
，∴EF∥PA，（2分）
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，EF∥PA，
∴EF∥平面PAB．（4分）
（2）解法一：取FC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，過(guò)G作GO⊥BD于O，連結(jié)EO，
在△DAC中，AC=
AD2+DC2
=
42+32
=5，CF=3，AF=2，
在△FEC中，∵FE⊥EC，∠FCE=45°，G為FC的中點(diǎn)，
∴EG⊥AC，∴EG∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EG∥PA，
∴EG⊥平面ABCD，
∵EG⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EG⊥BD，
∵BD⊥GO，BD⊥EG，EG∩GO=G，EG，OG?平面EGO，
∴BD⊥平面EOG，
∵BD⊥平面EOG，OE?平面EOG，
∴BD⊥OE，
∴∠EOG為二面角E-DB-C的平面角，（9分）
EG=
1
2
FC=
3
2

在△BDC中，BD=
AD2+AB2
=
42+22
=2
5

∵
1
2
CD•AD=
1
2
BD•2GO，
∴GO=
CD•AD
2BD
=
3×4
4
5
=
3
5
，
OE=
OG2+EG2
=
(
3
5
)2+(
3
2
)2
=
9
2
5
，
cos∠EOG=
OG
OE
=
3
5
9
2
5
=
2
3
，（13分）
∴二面角E-DB-C的平面角的余弦值為
2
3
．（14分）
解法二：以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由題意知：A（0，0，0），B（0，2，0），C（4，3，0），D（4，0，0），
∵由（1）知
CF
FA
=
3
2
，
∴
AF
=
2
5
AC
=（
8
5
，
6
5
，0），∴F(
8
5
，
6
5
，0)，（5分）
設(shè)
PE
=
λPC
，則
AE
=λ
PC
+
AP
=(4λ，3λ，5-5λ)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4λ，3λ，5-5λ），
FE
=(4λ-
8
5
，3λ-
6
5
，5-5λ)，
FE
•
PC
=4(4λ-
8
5
)+3(3λ-
6
5
)-5(5-5λ)=0，
解得λ=
7
10
，（7分）
FE
=(
6
5
，
9
10
，
3
2
)，
DB
=(-4，2，0)，（8分）
設(shè)
n1
=(x，y，z)是平面EBD的法向量，
則
n1
•
BD
=-4x+2y=0
n1
•
FE
=
6
5
x+
9
10
y+
3
2
z=0
，
取x=1，則y=2，z=-2，
∴
n1
=(1，2，-2)，（10分）
n2
=(0，0，1)是平面BDC的法向量，（11分）
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
-2
9
•
1
=-
2
3
，（13分）
∵二面角E-DB-C的平面角是銳角，
∴二面角E-DB-C的平面角的余弦值為
2
3
．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0且t≠1，x=
t
是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=anlogtan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)，過(guò)A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角，又過(guò)A1、C1、E三點(diǎn)的平面再截去長(zhǎng)方體的另一個(gè)角得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1E
（1）若直線BC1與平面A1C1CA所成角的正弦值為
10
10
，求棱AA1的長(zhǎng)．
（2）在（1）的前提下，求二面角E-A1C1-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．其中，|PF|的最小值是2-
2
，△PFA的面積最大值是
2
-1．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，直線BM⊥AB，BM交AP于M，OM交BP于N，求點(diǎn)N到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(
2
，1)，離心率為
2
2
．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1•k2最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在一點(diǎn)F（不與A，B兩點(diǎn)重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線Γ：y2=2px上．
（1）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
的值；
（2）若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記四邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，k4，求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
-
1
k4
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-5；不等式選講
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
（Ⅰ）
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

P為雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案