選修4-1幾何證明選講
如圖,已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E,連結(jié)AD、BD、OC、OD,且OD=5.
(Ⅰ)若sin∠BAD=
3
5
,求CD的長;
(Ⅱ)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(陰影部分)的面積(結(jié)果保留π).
考點:弦切角,與圓有關的比例線段
專題:立體幾何
分析:(I)由⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E,利用垂徑定理可得CE=ED.在Rt△ABD中,利用直角三角形的邊角關系可得BD=ABsin∠BAD.再利用勾股定理可得AD=
AB2-AD2
.由等面積變形可得
1
2
AB×ED=
1
2
AD•BD
,即可得出.
(II)設∠ODE=x,則∠ADO=4x,利用三角形外角定理可得∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x.在Rt△EOD中,由于∠EOD+∠ODE=
π
2
,可得x=
π
18
.進而得到∠AOC=2∠ADC=
9
.再利用扇形的面積計算公式即可得出.
解答: 解:(I)∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E,∴CE=ED,∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,∵sin∠BAD=
3
5
,∴BD=AB•sin∠BAD=10×
3
5
=6.
由勾股定理可得AD=
AB2-AD2
=
102-62
=8.
1
2
AB×ED=
1
2
AD•BD
,∴ED=
AD•BD
AB
=
6×8
10
=4.8.
∴CD=2ED=9.6.
(II)設∠ODE=x,則∠ADO=4x,∵OA=OD,∴∠OAD=4x.
∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x.
在Rt△EOD中,∠EOD+∠ODE=
π
2
,∴8x+x=
π
2
,解得x=
π
18

∠ADC=
18

∴∠AOC=2∠ADC=
9

∴扇形OAC(陰影部分)的面積S=
1
2
×
9
×52
=
125
18
π
點評:本題綜合考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、直角三角形的邊角關系、勾股定理、等面積變形、三角形外角定理、扇形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

己知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( 。
A、
2
3
3
B、
2
3
3
+2π
C、2
3
+2π
D、2
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱DD1上的動點,F(xiàn),G分別是BD,BB1的中點.
(1)求證:EF⊥CF.
(2)當點E是棱DD1上的中點時,求異面直線EF與CG所成角的余弦值.
(3)當二面角E-CF-D達到最大時,求其余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖直角梯形OABC中,∠COA=∠OAB=90°,OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,SO=1,分別以OC,OA,OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz.
(Ⅰ)求
SC
OB
夾角的余弦值;
(Ⅱ)求OC與平面SBC夾角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角S-BC-O.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,a1=t,a2=t2,其中t>0且t≠1,x=
t
是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點.
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)設bn=anlogtan,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求Sn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若不等式
3x2+2x+2
x2+x+1
>k對一切實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,點P在邊AB上,設
AP
PB
(λ>0),過點P作PE∥BC交AC于E,作PF∥AC交BC于F.沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC;沿PE將△BPF翻折成△B′PF,使平面B′PF⊥平面ABC.
(1)求證:B′C∥平面A′PE;
(2)是否存在正實數(shù)λ,使得二面角C-A′B′-P的大小為90°?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,則棱與底面垂直,如圖所示,D是棱CC1的中點,且∠ACB=90°,BC=1,AC=
3
,AA1=
6

(Ⅰ)證明:A1D⊥平面AB1C1
(Ⅱ)求二面角B-AB1-C1的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,且PA=AD=2,AB=BC=1,E為PD的中點.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角E-AC-D的余弦值;
(Ⅲ)在線段AB上是否存在一點F(不與A,B兩點重合),使得AE∥平面PCF?若存在,求出AF的長;若不存在,請說明理由.

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