Question

把∠A=60°，邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成60°的二面角，則AC與BD的距離為

1. A.
   6
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：折后兩條對(duì)角線之間的距離的范圍可以根據(jù)二面角θ的范圍求得，故先找出二面角的平面角，取AC的中點(diǎn)E，連接BE、DE，則∠BED=θ，且BE=ED，所以EF⊥BD，再取BD的中點(diǎn)F，由AF=CF可得：EF⊥AC，則折后兩條對(duì)角線之間的距離為EF的長(zhǎng)，所以當(dāng)θ=120°時(shí)，EF取最小值；當(dāng)θ=60°時(shí)，EF取最大值．
解答：解：由題設(shè)∠A=60°，邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD，則∠D=120°，由余弦定理得AC²=64+64-2×8×8cos120°=3×64，故有AC=8
令E、F分別是中點(diǎn)，則折后兩條對(duì)角線之間的距離為EF的長(zhǎng)
由題設(shè)條件及圖形可證得在△AEC中，∠AEC=60°，AE=CE=4
又F是中點(diǎn)，故有直角三角形AFE中，∠AEF=30°，∠EAF=60°，
故有EF=AE×sin60°=4×=6
故選A
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是做出二面角的平面角來(lái)，本題考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．