Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x+

a

a

（x＞0）．
（1）試用定義證明：f（x）在(

a

，+∞)上單調(diào)遞增；
（2）若x∈[1，3]時(shí)，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)證明f（x）在（

a

，+∞）上的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，求出f（x）在[1，3]上的最小值f（x）_min，使f（x）_min≥2，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）任取x₁、x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

a

x1

）-（x₂+

a

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

；┅（2分）
∵

a

＜x₁＜x₂，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（

a

，+∞）上單調(diào)遞增；┅（6分）
（Ⅱ）f（x）在（0，

a

）上單調(diào)遞減，在（

a

，+∞）上單調(diào)遞增；
①若0＜a＜1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=1+a；
∴1+a≥2，即a≥1，∴a=1；┅（8分）
②若1＜a＜9，則f（x）在[1，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，3]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（

a

）=2

a

；
∴2

a

≥2，即a≥1，
∴1＜a＜9；┅（10分）
③若a≥9，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（3）=3+

a

3

；
∴3+

a

3

≥2，即a≥-3，∴a≥9；┅（12分）
綜合①②③，a的取值范圍是{a|a≥1}．┅（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明問題，也考查了分類討論思想求函數(shù)的最值問題，是中檔題．