Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項不為零的n（n≥4）項等差數(shù)列，且公差d≠0．若將此數(shù)列刪去某一項后，得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列，則所有數(shù)對(n，

a1

d

)所組成的集合為______．

Answer 1

設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則各項分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假設(shè)去掉第一項，則有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合題意；
去掉第二項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，化簡得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，解得d=-

a1

4

，
因為數(shù)列的各項不為零，所以數(shù)列不會出現(xiàn)第五項（a₁+4d=0），所以數(shù)對(n，

a1

d

)=（4，-4）；
去掉第三項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，化簡得：d²-a₁d=0即d（d-a₁）=0，解得d=a₁
則此數(shù)列為：a，2a，3a，4a，…此數(shù)列仍然不會出現(xiàn)第五項，
因為出現(xiàn)第五項，數(shù)列不為等比數(shù)列，所以數(shù)對(n，

a1

d

)=（4，1）；
去掉第四項時，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，化簡得：d=0，不合題意；
當(dāng)去掉第五項或更遠的項時，必然出現(xiàn)上述去掉第一項和第四項時的情況，即d=0，不合題意．
所以滿足題意的數(shù)對有兩個，組成的集合為{（4，-4），（4，1）}．
故答案為：{（4，-4），（4，1）}