Question

在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，記b_n=

1

S3n

．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，列出方程組求解；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，依題意得

a1+d=3 (a1+2d)2=a1(a1+6d) d≠0

，…（3分）
解得 a₁=2，d=1…（5分）
∴a_n=2+（n-1）×1即 a_n=n+1．…（6分）
（2）S3n=

3n(a1+a3n)

2

=

3n(2+3n+1)

2

=

9n(n+1)

2

．
bn=

1

S3n

=

2

9n(n+1)

=

2

9

(

1

n

-

1

n+1

)…（9分）
Tn=b1+b2+…+bn=

2

9

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

9(n+1)

故 T_n=

2n

9(n+1)

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及方程思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．