Question

【題目】已知函數(shù)，(是自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)，證明：有極大值，且滿足.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）證明見解析

【解析】

（1）直接求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，解得，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）首先求出的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，再對求導(dǎo)，說明其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得在上存在極大值；

解：（1），設(shè)，，

∴當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增. 即函數(shù)的減區(qū)間為；增區(qū)間為.

（2）因為，

設(shè)，且

∵， 在時，，所以在上單調(diào)遞增，

∴.

∴，在上是單調(diào)遞增，∴沒有極值.

令，解得. 在時，，單調(diào)遞減，

∴，. 由根的存在性定理：設(shè)，使得：，

即.

∵在，，∴單調(diào)遞增； 在，

，∴單調(diào)遞減；∴有極大值.∵有. 又∵，

∴，

.

綜上可得：函數(shù)有極大值，且滿足.