Question

已知集合A={x|x²+ax+a+1=0}．
（1）若x∈A，則x²∈A，求a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得若x∈A，y∈A，則xy∈A，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：集合

分析：（1）若x∈A，則x²∈A，A 的元素只可能是-1、0、1，然后，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系，建立等式求解a的值；
（2）假設(shè)存在，然后，結(jié)合x∈A，y∈A，則xy∈A，求解．

解答： 解：（1）設(shè)方程x²+ax+a+1=0的解集為集合A，
則集合A至多兩個(gè)元素，
由于若x∈A，則x²∈A，因此 A 的元素只可能是-1、0、1，并且-1∈A 時(shí) 1∈A，
①若 A={0}，則 x²+ax+a+1=x²，此不可能；
②若 A={1}，則 x²+ax+a+1=（x-1）²，此不可能；
③若 A={0，1}，則x²+ax+a+1=x（x-1），解得 a=-1；
④若 A={-1，1}，則 x²+ax+a+1=（x-1）（x+1），此不可能，
綜上可得 a=-1．
（2）如果 x=y，那么 xy=x²；
如果 x≠y，由于 A 至多只有兩個(gè)元素，因此 xy=x 或 xy=y，
所以 A={0，1}滿足條件，此時(shí) a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查元素與集合的關(guān)系，構(gòu)成集合的元素特征等知識(shí)，屬于中檔題，難度中等．