Question

已知關(guān)于x的不等式1＋2^x＋(a－a²)4^x＜0在[0，＋∞)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(提示：a²－a－2＞0a＜－1，或a＞2)．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：將不等式中的未知數(shù)x與參數(shù)a分別移到不等式的兩邊，即將原不等式轉(zhuǎn)化為g(a)＜f(x)的形式，再利用g(a)＜f(x)_min求解．

　　解：由于4^x＞0，故可將原不等式轉(zhuǎn)化為

　　a－a²＜－－＝－－，

　　則該不等式在[0，＋∞)上恒成立．

　　設(shè)y＝f(x)＝－－，

　　令u(x)＝＞0，y＝－u²－u＝－＋，

　　因為0＜＜1，且－＜0，

　　所以u(x)在R上為減函數(shù)，y＝－u²－u在(0，＋∞)上為減函數(shù)，

　　所以函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，

　　所以f(0)≤f(x)，即－2≤f(x)，

　　所以a－a²＜－2，即a²－a－2＞0，解得a＜－1，或a＞2．

　　所以，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

　　點評：利用指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的恒成立問題，主要有兩種方法：(1)分離參數(shù)法，即將不等式中的參數(shù)分離出來，使不等式的一端化為只含參數(shù)的解析式，而另一端化為含未知數(shù)的解析式，再利用單調(diào)性解答，整個過程體現(xiàn)函數(shù)思想；(2)利用指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為一般的代數(shù)不等式，再結(jié)合其他方法，如判別式法、圖象法等來求解．