Question

對任意正數(shù)x，y不等式（k-

1

2

）x+ky≥

2xy

恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意可得（k-

1

2

）x+ky≥2

k(k- 1 2 )xy

，不等式（k-

1

2

）x+ky≥

2xy

恒成立，可得2

k(k- 1 2 )xy

≥

2xy

，化簡可得（2k+1）（k-1）≥0，由此求得k的最小值．

解答： 解：由所給的選項(xiàng)可得k≥1，∵（k-

1

2

）x+ky≥2

k(k- 1 2 )xy

，x、y都是正實(shí)數(shù)，
不等式（k-

1

2

）x+ky≥

2xy

恒成立，
∴2

k(k- 1 2 )xy

≥

2xy

，∴2

k(k- 1 2 )

≥

2

，化簡可得 （2k+1）（k-1）≥0．
解得 k≤-

1

2

 （舍去），或k≥1，故k的最小值為1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．