Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n和1的等差中項，等{b_n}差數(shù)列滿足b₁=a₁，b₄=S₃
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n是S_n和1的等差中項，知S_n=2a_n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；設{b_n}的公差為d，由b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由an=2n-1，bn=2n-1，知c_n=

bn

an

=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n和1的等差中項，
∴S_n=2a_n-1…（1分）
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2…（3分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，S_n=2n-1…（5分）
設{b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（Ⅱ）∵an=2n-1，bn=2n-1，
∴c_n=

bn

an

=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，…（9分）
∴T_n=1•(

1

2

)0+3•

1

2

+5•(

1

2

)2+…+（2n-1）•（

1

2

）^n-1，①…（10分）

1

2

Tn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+（2n-1）•(

1

2

)n，②
①-②，得；

1

2

Tn=1+2[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+（

1

2

）^n-1]-（2n-1）•(

1

2

)n
=1+2•

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

（2n-1）•(

1

2

)n
=3-4•(

1

2

)n-（2n-1）•(

1

2

)n，…（12分）
∴T_n=6-8•(

1

2

)n-（4n-2）•（

1

2

）ⁿ
=6-（4n+6）•(

1

2

)n．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n和的求法，解題時要熟練掌握等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質，要注意錯位相減法的合理運用．