Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2^a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式及等比數(shù)列的性質列出方程組，求出等差數(shù)列的首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由題意推導出bn=22n+1+1，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0．
∵S₃=a₄+6，
∴3a₁+

3×2d

2

=a₁+3d+6．①
∵a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，
∴a1(a1+12d)=(a1+3d)2．②…（2分）
由①，②可得：a₁=3，d=2．…（4分）
∴a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由題意bn=22n+1+1，
設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，Cn=22n+1，

cn+1

cn

=

22(n+1)+1

22n+1

=4，（n∈N^*），
∴數(shù)列{C_n}為以8為首項，以4為公比的等比數(shù)列…（9分）
∴Tn=

8(1-4n)

1-4

+n=

2•4n+1-8

3

+n．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意分組求和法的合理運用．