Question

已知函數(shù)，f（x）在x=1處的切線的斜率為-1，
（1）求f（x）的解析式及單調區(qū)間；
（2）是否總存在實數(shù)m，使得對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導，根據(jù)f（x）在x=1處的斜率求出a的值，在根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，畫出表格．
（2）根據(jù)（1）式求出g（x）的最大值和最小值，根據(jù)最值的范圍求出m的取值范圍．
解答：解：（1）解：f'（x）=a²x²+6ax+8，f'（1）=a²+6a+8=-1得a=-3，則f（x）=3x³-9x²+8x（3分）
f'（x）=9x²-18x+8=（3x-2）（3x-4）；；∴；遞減區(qū)間為（7分）
（2）由（1）得

x	-1	（-1，）		（，）		（，2）	2
f'（x）		+		-		+
f（x）	-20	增		減		增	4

所以當x₁∈[-1，2]時，-20≤f（x₁）≤4，（9分）
假設對任意的都存在x₁∈[-1，2]x∈[0，1]使得g（x）=f（x₁）成立，
設g（x）的最大值為T，最小值為t，則（11分）
又g′（x）=9x²+3m²＞0，所以當x∈[0，1]時，
T=g（1）=1+3m²-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（15分）
點評：該題考查函數(shù)的求導，以及導數(shù)的幾何意義，在解答過程中要注意畫表格．