【題目】連結(jié)圓周上九個(gè)不同點(diǎn)的36條弦要么染成紅色，要么染成藍(lán)色，我們稱它們?yōu)?/span>“紅邊”或“藍(lán)邊”.假定由這九個(gè)點(diǎn)中每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中都含有“紅邊”.證明：這九個(gè)點(diǎn)中存在四個(gè)點(diǎn)，兩兩連結(jié)的六條邊都是紅邊.

【答案】見解析

【解析】

圓周上九個(gè)點(diǎn)中任三點(diǎn)均不共線，任四點(diǎn)都是一凸四邊形的頂點(diǎn).設(shè)這九個(gè)點(diǎn)為，，…，.顯然每個(gè)都要與其他八個(gè)點(diǎn)有邊相連.

（1）若存在一點(diǎn)向其他點(diǎn)引出至少四條藍(lán)邊，不妨設(shè)這四條藍(lán)邊為，，，.則，，，，，均為紅邊.即存在四點(diǎn)，，，，其中每兩點(diǎn)連的都是紅邊（如圖）.

（2）若每一點(diǎn)向其余點(diǎn)引出的藍(lán)邊不多于3條.這時(shí)每兩點(diǎn)向其余點(diǎn)連的紅邊至少為5條.如果每一點(diǎn)都恰引出5條紅邊，則九個(gè)點(diǎn)恰引出條紅邊.這不可能，因?yàn)檫厰?shù)必為整數(shù).所以，必存在某個(gè)點(diǎn)，比如點(diǎn)，到其他點(diǎn)連的紅邊至少為6條.不妨設(shè)與，，，，，連的，，，，，都是紅邊，這時(shí)五條邊，，，，中至少有三條同色.不妨設(shè)，，同色.

①若，，同為藍(lán)邊，因，，均為紅邊，此時(shí)，，，四點(diǎn)所連六條邊均為紅邊（如圖）.

②若，，同為紅邊，則三邊依條件不能全是藍(lán)邊，即至少有一條紅邊.不妨設(shè)為紅邊，這時(shí)，，，四點(diǎn)所連的六條邊均為紅邊（如圖）.

綜上所述，問題得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方形ABCD中，AB= ,AD=2,E,F為線段AB的三等分點(diǎn)，G、H為線段DC的三等分點(diǎn)．將長方形ABCD卷成以AD為母線的圓柱W的半個(gè)側(cè)面，AB、CD分別為圓柱W上、下底面的直徑．

（Ⅰ）證明：平面ADHF⊥平面BCHF；

（Ⅱ）若P為DC的中點(diǎn)，求三棱錐H—AGP的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐中, 為正三角形, , 為棱的中點(diǎn).

(1)求證:平面平面;

(2)若直線與平面所成角為,求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ）

A. 命題“若，則”的否命題為：“若則”

B. 若為真命題，為假命題，則均為假命題

C. 命題“若成等比數(shù)列，則”的逆命題為真命題

D. 命題“若，則”的逆否命題為真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l方程為（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．

（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若直線l在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標(biāo)值分組

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（II）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓.

（1）若圓的切線在軸、軸上的截距相等，求切線的方程；

（2）若點(diǎn)是圓C上的動點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，且滿足

，．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．

(1)求、和；

(2)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)簡記為，若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，（其中是與軸正方向相同的單位向量），則稱為“點(diǎn)列”.

（1）試判斷：，...是否為“點(diǎn)列”？并說明理由.

（2）若為“點(diǎn)列”，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方.任取其中連續(xù)三點(diǎn)，判斷的形狀（銳角，直角，鈍角三角形），并證明.

（3）若為“點(diǎn)列”，正整數(shù)滿足：，且，求證：.

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