Question

1．若不等式$\sqrt{xy}$≤（a-1）x+ay，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，結(jié)合不等式$\sqrt{xy}$≤（a-1）x+ay，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈（0，+∞）恒成立，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意（a-1）x+ay≥2$\sqrt{（a-1）axy}$≥$\sqrt{xy}$，
∴2$\sqrt{a（a-1）}$≥1，
∴a≤$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$或a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
又a＞0，a-1＞0，
∴a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．