Question

已知F為拋物線C：y=x²的焦點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線C上的兩點，且x₁＜x₂．
（1）若

FA

=λ

FB

(λ∈R)，則λ為何值時，直線AB與拋物線C所圍成的圖形的面積最��？該面積的最小值是多少？
（2）若直線AB與拋物線C所圍成的面積為

4

3

，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由題知，先寫出拋物線C的焦點坐標，利用題中向量條件得出A，B兩點坐標的關(guān)系式，從而寫出直線AB的方程為y=kx+

1

4

，再利用定積分求出直線AB與拋物線C所圍的面積的表達式，最后利用基本不等式求其最小值即可；
（2）先由題知A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），且x₁＜x₂，寫出直線AB的方程為y-x₁²=k（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，再利用定積分求出直線AB與拋物線C所圍的面積得到關(guān)于x₁，
x₂的方程，最終消去x₁，x₂得出點M的軌跡方程．

解答：解：（1）由題知，拋物線C的焦點F(0，

1

4

)，A(x1，

x

2 1

)，B(x2，

x

2 2

)，所以

FA

=(x1，

x

2 1

-

1

4

)，

FB

=(x2，

x

2 2

-

1

4

)．
因為

FA

=λ

FB

，所以

FA

=λ

FB

共線，即
x1(

x

2 2

-

1

4

)-x2(

x

2 1

-

1

4

)=0，
即(x2-x1)(x1x2+

1

4

)=0．
因為x₁＜x₂，所以x₁x₂=-

1

4

．（2分）
由題設(shè)條件x₁＜x₂知，直線AB的斜率k一定存在，且
k=

y2-y1

x2-x1

=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=x1+x2．（3分）
設(shè)直線AB的方程為y=kx+

1

4

，則直線AB與拋物線C所圍的面積
S=

∫

x2 x1

(kx+

1

4

-x2)dx=(-

1

3

x3+

k

2

•x2+

1

4

x)

|

x2 x1

=(-

1

3

x

3 2

+

k

2

•

x

2 2

+

1

4

x2)-(-

1

3

x

3 1

+

k

2

•

x

2 1

+

1

4

x1)
=-

1

3

(

x

3 2

-

x

3 1

)+

k

2

(

x

2 2

-

x

2 1

)+

1

4

(x2-x1)
=(x2-x1)[-

1

3

(

x

2 2

+x2x1+

x

2 1

)+

k

2

(x2+x1)+

1

4

]
=

(x2+x1)2-4x2x1

[-

1

3

(x2+x1)2+

1

3

x2x1+

k

2

(x2+x1)+

1

4

]
=

k2+1

[-

1

3

k2-

1

3

×

1

4

+

k

2

•k+

1

4

]

=

1

6

(k2+1)

k2+1

≥

1

6

，
當且僅當k=0，即x₁=-x₂，即λ=-1時，S_min=

1

6

．（5分）
（2）由題知A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），且x₁＜x₂，則直線AB的斜率k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

x 2 1 - x 2 2

x2-x1

=x1+x2．
設(shè)直線AB的方程為y-x₁²=k（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
則直線AB與拋物線C所圍的面積
S=

∫

x2 x1

[(x1+x2)x-x1x2-x2]dx
=(

x1+x2

2

•x2-x1x2x-

1

3

x3)

|

x2 x1

=

1

6

(x2-x1)3，
因為S=

4

3

，所以

1

6

(x2-x1)3=

4

3

，得x2-x1=2．（8分）設(shè)M（x，y），則x=

x1+x2

2

=x1+1，
y=

y1+y2

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=

x

2 1

+2x1+2=(x1+1)2+1，
所以y=x²+1．
故點M的軌跡方程為y=x²+1．（10分）

點評：本小題主要考查定積分在求面積中的應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．