Question

已知F為拋物線C：y=x²的焦點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線C上的兩點，且x₁＜x₂．
（1）若為何值時，直線AB與拋物線C所圍成的圖形的面積最��？該面積的最小值是多少？
（2）若直線AB與拋物線C所圍成的面積為，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題知，先寫出拋物線C的焦點坐標(biāo)，利用題中向量條件得出A，B兩點坐標(biāo)的關(guān)系式，從而寫出直線AB的方程為，再利用定積分求出直線AB與拋物線C所圍的面積的表達(dá)式，最后利用基本不等式求其最小值即可；
（2）先由題知A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），且x₁＜x₂，寫出直線AB的方程為y-x₁²=k（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，再利用定積分求出直線AB與拋物線C所圍的面積得到關(guān)于x₁，
x₂的方程，最終消去x₁，x₂得出點M的軌跡方程．
解答：解：（1）由題知，拋物線C的焦點．
因為共線，即
，
．
因為x₁＜x₂，所以x₁x₂=-．（2分）
由題設(shè)條件x₁＜x₂知，直線AB的斜率k一定存在，且
k=．（3分）
設(shè)直線AB的方程為y=kx+，則直線AB與拋物線C所圍的面積
S=
=
=-
=
=
=

=，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0，即x₁=-x₂，即λ=-1時，S_min=．（5分）
（2）由題知A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），且x₁＜x₂，則直線AB的斜率k_AB=．
設(shè)直線AB的方程為y-x₁²=k（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
則直線AB與拋物線C所圍的面積
S=
=，
因為S==2．（8分）設(shè)M（x，y），則x=+1，
y=+1，
所以y=x²+1．
故點M的軌跡方程為y=x²+1．（10分）
點評：本小題主要考查定積分在求面積中的應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．