已知向量
a
=（cosx，-sinx），
b
=（sinx-3cosx，sinx-cosx），函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）若x=
π
3
，求f（x）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的對稱中心和最大值，并求取得最大值時的x的集合．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）將f（x）=
a
•
b
化簡，再代值計算．
（2）進一步化簡f（x）=sin2x-cos2x-2=
2
sin(2x-
π
4
)-2，不難看出最大值，令2x-
π
4
=kπ(k∈Z)，計算其對稱中心．
解答： 解：（1）由題意，得
f（x）=
a
•
b
=2sinxcosx-3cos2x-sin2x=sin2x-cos2x-2，
∴當x=
π
3
時，f(x)=sin
2π
3
-cos
2π
3
-2=
3
2
+
1
2
-2=
3
-3
2
．
（2）由（1）知，
f（x）=sin2x-cos2x-2=
2
sin(2x-
π
4
)-2
由2x-
π
4
=kπ(k∈Z)得x=
kπ
2
+
π
8
(k∈Z)
所以f（x）對稱中心為(
kπ
2
+
π
8
，-2)(k∈Z)
當x=kπ+
3π
8
(k∈Z)時，f（x）取最大值
2
-2．
點評：在三角函數(shù)式的化簡中，對于公式要求要很熟練，即達到“正用，反用，變形用”等三個要求．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=4x的頂點作射線OA，OB與拋物線交于A，B，若
OA
•
OB
=2，求證：直線AB過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a1∈[0，1]，2an=3-an-1，n=2，3，4…，求通項公式an．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）化簡：
sin(540°+α)•cos(-α)
tan(α-180°)

（2）已知tanα=3，計算sin2α+sinαcosα的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標平面xOy中，△AjBjAj+1（其中j=1，2，n，…）為正三角形，且滿足
OA1
=（-
1
4
，0），
AjAj+1
=（2j-1，0），記點Bj的坐標為（xj，yj）．
（Ⅰ）計算x1•x2•x3，并猜想xn的表達式；
（Ⅱ）請用數(shù)學歸納法證明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率e=
2
2
，P為橢圓上任一點，且△PF1F2的最大面積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恒過原點O，若實數(shù)m滿足條件
AO
•
AB
=
m
tan∠OAB
，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知扇形面積為S，扇形中心角為α，求扇形周長與中心角α的關(guān)系式，并求周長c的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在這些拋物線中，記隨機變量X為“|a-b|的取值”．
（Ⅰ）求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）；
（Ⅱ）記事件A=“函數(shù)f（t）=2Xt+4在區(qū)間（-3，-
2
3
）上存在零點”，求事件A的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求已知α、β均為銳角，且cosα=
2
5
，sinβ=
3
10
，求角α-β．

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