Question

已知F₁、F₂是雙曲線x2-

y2

15

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，若|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，則△F₁PF₂的面積為

 

．

Answer 1

分析：本題首先要根據(jù)雙曲線的定義寫出|PF₁|，|PF₂|所滿足的條件，再根據(jù)|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差為正數(shù)的等差數(shù)列寫出另一個(gè)等式，兩式組成方程組，解出三角形三邊的長(zhǎng)度，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知三邊求面積的問(wèn)題，先用余弦定理求一個(gè)角，再求這個(gè)角的正弦值，做出面積．

解答：解：∵|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，
∴2|PF₂|=|PF₁|+|F₁F₂|
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2（c-a）=6，
|PF₁|=2c-4a=4，
|F₁F₂|=8，
已知三角形的三條邊的長(zhǎng)度求△F₁PF₂的面積，
設(shè)邊長(zhǎng)是8的邊所對(duì)的角是θ，
∵cosθ=

16+36-64

2×4×6

=-

1

4

，
又本角是三角形的內(nèi)角，
∴sinθ=

15

4

，
∴△F₁PF₂的面積=

1

2

×4×6×

15

4

=3

15

，
故答案為：3

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)大型綜合題，解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．