Question

將正△ABC分割成n²（n≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三 角形（圖1，圖2分別給出了n=2，3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f（n），則有f（2）=2，f（3）=

 

…，f（n）=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)等差中項(xiàng)法分別求解n=2，3，4時(shí)的值，由此歸納出f（n）的值即可．

解答：解：由題意可得，（各點(diǎn)放的數(shù)用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示）
當(dāng)n=2時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1
2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1
∴f（2）=2=

3×4

6

當(dāng)n=3時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1
從而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2
同樣根據(jù)等差中項(xiàng)可得，M的數(shù)為

1

3

∴f（3）=3+

1

3

=

10

3

=

4×5

6

同理可得，f（4）=5=

5×6

6

f（n）=

(n+1)(n+2)

6

故答案為：

10

3

，

(n+1)(n+2)

6

點(diǎn)評：本題目主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用等差中項(xiàng)，進(jìn)行求解．考查了考試發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力．