Question

若數(shù)列{a_n}滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n都有a_n+T=a_n成立則稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T，已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

則，有下列結(jié)論：
①若a₃=4，則m可以取3個不同的值；
②若m=

2

，則數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列；
③對任意的T∈N^*且T≥2，存在m＞1，使得{a_n}是周期為T的數(shù)列；
④存在m∈Q且m≥2，使得數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．
其中正確的結(jié)論有

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①若a₃=4，利用a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，分別對a₂，a₁討論即可得出；
②若m=

2

，可得a₂，a₃，a₄，…，可得a_n+3=a_n．即可判斷出數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列．
③由①可知正確．
④可用反證法證明不正確．

解答： 解：①若a₃=4，∵a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，
∴當(dāng)a₂＞1時，a₂-1=a₃=4，解得a₂=5．當(dāng)a₁=m＞1時，a₁-1=a₂=5，解得a₁=6；當(dāng)0＜a₁=m＜1時，

1

a1

=a₂=5，解得a₁=

1

5

．
當(dāng)0＜a₂＜1時，

1

a2

=a₃=4，解得a₂=

1

4

．當(dāng)a₁=m＞1時，a₁-1=a₂=

1

4

，解得a₁=

5

4

．當(dāng)0＜a₁=m＜1時，

1

a1

=a₂=

1

4

，解得a₁=4，此時不符合條件，應(yīng)舍去．
綜上可得：m可以取3個不同的值：6，

1

5

，

5

4

．因此①正確．
②若m=

2

，則a2=a1-1=

2

-1，∴a₃=

1

a2

=

1

2 -1

=

2

+1，∴a4=a3-1=

2

．
…，可得a_n+3=a_n．∴數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，正確．
③對任意的T∈N^*且T≥2，存在m＞1，使得{a_n}是周期為T的數(shù)列，由①可知正確．
④假設(shè)存在m∈Q且m≥2，使得數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．則當(dāng)m=2時，a₂=a₁-1=1，∴a3=

1

a2

=1=…=a_n（n≥2），此時數(shù)列{a_n}不是周期數(shù)列．
當(dāng)m＞2時，當(dāng)0＜m-k≤1時，a_k+1=a₁-k=m-k．∴a_k+2=

1

ak+1

=

1

m-k

＞1．若a_k+2=a_i，1≤i≤k+1，則

1

m-k

=m-（i-1），化為m²-m（k+i-1）+ki-k-1=0，則△=（k+i-1）²-4（ki-k-1）不為平方數(shù)，因此假設(shè)不正確．可知④不正確．
綜上可知：只有①②③正確．

點評：本題考查了數(shù)列的周期性、分類討論思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．