Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，求證： ；

（2）當(dāng)時(shí)，試討論方程的解的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）時(shí)，方程一個(gè)解；當(dāng)且時(shí)，方程兩個(gè)解.

【解析】試題分析：（1）等價(jià)于，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出，即可得結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過兩次求導(dǎo)，討論三種情況，分別判斷函數(shù)單調(diào)性及最值情況，從而可得方程解的個(gè)數(shù).

試題解析：（1）要證，

只要證（*）

令，則，

而，所以在上單調(diào)遞增，又，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，即，（*）式成立

所以原不等式成立.

（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

而， .

令，解得.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以，

設(shè)， ，

而，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即（當(dāng)即時(shí)取等）.

1°當(dāng)時(shí)， ，則恒成立.

所以在上單調(diào)遞增，又，則有一個(gè)零點(diǎn)；

2°當(dāng)時(shí)， ， ，

有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且時(shí)，

則存在使得，又

這時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增

所以，又時(shí)， ，

所以這時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；

3°當(dāng)時(shí)， ， .

有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且時(shí)， ，

則存在使得.又，

這時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增.

所以.又時(shí)， ， .

所以這時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；

綜上： 時(shí)，原方程一個(gè)解；當(dāng)且時(shí)，原方程兩個(gè)解.