Question

給出下列命題；
①設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]=649；
②定義在R上的函數(shù)f（x），函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）=

x-1

2x+1

的對(duì)稱中心為（-

1

2

，-

1

2

）；
④已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²+1在x=1處有極值11，則f（-1）=3或31；
⑤定義：若任意x∈A，總有a-x∈A（A≠∅），就稱集合A為a的“閉集”，已知A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，則這樣的集合A共有7個(gè)．
其中正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)命題一一驗(yàn)證．①若2ⁿ≤x＜2ⁿ⁺¹，則x有n個(gè)取值；②函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可由函數(shù)f（x）的平移，對(duì)稱得到；③函數(shù)f（x）=

x-1

2x+1

=

1

2

-

3

2(2x+1)

，則對(duì)稱中心為（-

1

2

，

1

2

）；④求a，b的值，然后求f（-1）；⑤由兩個(gè)元素組合在一起，得集合A．

解答： 解：①[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]
=0+1+1+2+2+2+2+…+6+7
=0×2⁰+1×2¹+2×2²+…+6×2⁶+7
=649；故正確；
②函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；故不正確；
③函數(shù)f（x）=

x-1

2x+1

=

1

2

-

3

2(2x+1)

，則對(duì)稱中心為（-

1

2

，

1

2

）；故不正確；
④∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²+1在x=1處有極值11，f′（x）=3x²+2ax+b；
∴

1+a+b+a2+1=11 3+2a+b=0 △=(2a)2-12b＞0

解得，a=4，b=-11．
則f（-1）=-1+4+11+1+1=16
故不正確；
⑤由題意知，1與5同時(shí)出現(xiàn)，2與4同時(shí)出現(xiàn)，3可單獨(dú)出現(xiàn)，6不能出現(xiàn)；
則集合A={1，5}或A={2，4}或A={3}或A={1，5，2，4}或A={1，5，3}或A={2，4，3}或A={1，5，2，4，3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假性的判斷，考查了數(shù)的變化，圖象變化，及極值問題等．